[數學] mathematical induction and strong induction

記錄一點關於數學歸納法跟strong induction的學習心得。
1.   Mathematical induction高中就有學習過，即：
P(n)是一個propositional function，n屬於正整數集合，則若符合兩個條件：(1)basis of induction成立，也就是說P(1)為ture。(2)當k>=1時，P(k)->P(k+1)。
則根據數學歸納法，對於每個n屬於正整數，P(n)恆成立。
2.   Strong mathematical induction：
這是一種先假設P(n)在n = n0時成立，如果在n>=n0且n<=k的所有n都讓P(n)為true的前提下 –> P(k+1)為true，則根據Strong mathematical induction，對於所有的n>=n0，P(n)為true。
mathematical induction 和 strong induction在邏輯上是equivalent。
為什麼是equivalent呢？我的想法是：mathematical induction是P(1)為真，然後P(1)->P(2)，P(2)->P(3)，P(3)->P(4)，P(4)->P(5)…P(k)->P(k+1)。
而Strong mathematical induction則是：P(n0)為真，然後P(n0+1)->P(n0+2)，[P(n0+1)…P(n0+2)]->P(n0+3)，[P(n0+1)…P(n0+3)]->P(n0+4)… [P(n0+1)…P(k)]  -> P(k+1)。
所以Strong mathematical induction只是用很多項為真時堆導出下一項，而mathematical induction則是每一項推導出隔壁項，一直到把全部序列都證明到為真。但在Strong induction裡面，每一項的成立其實也可視為隔壁項推導過來的(我是將k視為可以變動)。這是我的想法，希望沒有想錯。
                            by Uncle.